Можете купить и зарегистрировать его в Словакии. Номера будут обычные словацкие. Дополнительных страховок или еще чего-либо для въезда в Украину покупать или оформлять не надо - только обычную словацкую страховку гражданской ответственности (Povinné zmluvné poistenie). Эта страховка состоит из двух частей - так называемой "белой карты" (автогражданка для Словакии) и "зеленой карты" (автогражданка для всех остальных стран ЕС + несколько стран соседей, одна из которых - Украина). При снятии машины с учета (если берете б/у) дадите предыдущему собственнику вашу карточку (povolenie na pobyt) и полиция погасит старый техпаспорт сразу на ваше имя. Вы его забираете, идете покупаете страховку и в течение нескольких дней (по-моему, до 10-ти, но я не уверен), вы должны ее поставить на учет по месту регистрации. При постановке на учет, заполните в полиции ходатайство и подадите его вместе со старым техпаспортом, страховкой (уже на ваше имя), вашей карточкой ВНЖ и старыми номерами. В полиции тут же при Вас (в течение минут 10), Вам выпишут новый техпаспорт на Ваше имя - это такая большая бумажка размером А3, в которой указаны все данные по Вашей машине. С ней Вы уже можете ездить, но позже, Вам или пришлют, или Вы заберете сами в полиции маленький пластиковый техпаспорт с чипом, с которым, в принципе, и принято ездить. Таким образом у Вас на руках будет два техпаспорта. Хотя большой техпаспорт Вам понадобится уже только при продаже авто. Если покупаете новое авто в салоне - просто дадите им карточку ВНЖ и все остальное они сделают сами, как правило.
По поездкам в Украину. У вас есть 3 возможности.
1. Просто въезжаете в страну. Он же, так называемый, транзитный режим. У вас будет 5 дней на то, чтобы вернуться в Украину в пределах одного таможенного органа на любом переходе. Имеется ввиду, что Вы к примеру въехали в Украину через переход Вишне Немецке-Ужгород. Тогда, если Вы будете выезжать там же, или на любом другом переходе в Закарпатской области - у Вас будет только 5 дней на пребывание в Украине (ВКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЕНЬ ВЪЕЗДА И ДЕНЬ ВЫЕЗДА). К примеру, если въехали в понедельник, то выехать должны до пятницы (включительно). В этом же режиме пребывания, если Вы будете выезжать во Львовской области или Волынской или где-то дальше (другой таможенный орган), то на пребывание в Украине Вам уже дается 10 дней, включительно дни въезда и выезда. В этом режиме от Вас требуется только украинский загранпаспорт и техпаспорт на авто на Ваше имя. Больше ничего.
2. Вы идете в посольство Украины и просите поставить Вас на временный консульский учет - заполните бланк заявления, по-моему 2 фотографии, и в течение 15-20 минут Вас внесут в базу данных и поставят на временный консульский учет. У Вас будет штамп в паспорте, который Вам позволит въехать в Украину уже на 60 дней беспрерывно, но на протяжении календарного года. Или 2 раза по 30 дней, или в любом другом порядке, но не более 60 дней суммарно в году. На таможне надо заявить, что вы хотите въехать именно по консульскому учету. Оформление занимает примерно минут 15-20.
3. Вы выписываетесь с Украины полностью и становитесь на постоянный консульский учет. С этого момента Вы уже не резидент Украины и можете въезжать на 1 год. Но процедура очень сложная, занимает обычно несколько месяцев. Надо закрывать ЧП, если оно оформлено, или увольняться с работы и т.д. Подробнее Вам расскажут в ОВИРе - именно отсюда и начинается эта процедура.
Ездить по доверенности от словака - нельзя! Вы обязательно должны быть вписаны в техпаспорт.
Других вариантов нет... 