Очереди в разных регионах - разные. Да можно записаться в электронную очередь: https://portal.minv.sk/wps/wcm/connect/ … ny-system/
За три дня не успеете, Карточка будет делаться несколько недель. Но есть вариант ускоренной выдачи (где то дней пять, точно не помню, нужно уточнить в полиции) и возможность пересылки на указаний Вами адрес, понятно что в Словакии. За это будет нужно доплатить.   
   Словацкий язык не очень сложный, большинство фраз поймете интуитивно, особенно если владеете украинским.
   На этом этапе практически не чем.
   Если у Вас есть решение о побыте достаточно медстраховки из Вашей страны или словацкой, медосмотр вообще не нужен. Работать сможете сразу.